由于课件内容较为清楚,此处仅总结重要内容以及其他内容的索引

1.通论

对应于课件1

计算机图形学:表现与表达三维数字对象
制作三维数据:几何数据,UV展开,纹理,材质,灯光,动画,…
几何内容的生成仍然是计算机图形学应用的瓶颈问题之一！
2. 函数拟合
对应于课件1,2
函数空间

空间的完备性：这个函数空间是否可以表示（逼近）任意函数？
万能逼近定理(Weierstrass)
定理1：闭区间上的连续函数可用多项式级
数一致逼近
定理2：闭区间上周期为2π的连续函数可用
三角函数级数一致逼近
如何求满足要求的函数?

方法:
2.1 数据拟合
2.1.1 到哪找?
选择一个函数空间
RBF:径向基函数 https://www.cnblogs.com/hxsyl/p/5231389.html
成为核函数的基础:Mercer定理
https://baike.baidu.com/item/Mercer%E5%AE%9A%E7%90%86/19446322?fr=aladdin
函数表达为基函数的线性组合
2.1.2 找哪个与怎么找?
2.1.2.1 目标1
函数要经过每一个数据点插值(零误差)
联立,求解线性方程组(用插值多项式可以直接得到结果),但是它们的本质都和线性方程组相关
病态问题:系数矩阵条件数高时,求解不稳定.
插值函数的自由度=未知量个数-已知量个数
2.1.2.2 目标2
函数尽量靠近数据点(逼近)
对个系数求导,得正规方程
2.1.2.3 避免过拟合的方法
基函数选择
岭回归(Ridge regression)–正则约束,还有方差正则项/系数正则项
稀疏正则化(冗余基函数,通过优化来选择合适的基函数)—把多余的基函数给筛掉
- 稀疏正则化从另一个角度理解:压缩感知(这里实际上是一个重建的问题)
2.1.3 分段与光滑与逼近的比较
分段函数数据误差为0,但是只有C0连续,不光滑
光滑插值误差为0,但是可能被”差数据”带歪,导致函数性质不好,预测不可靠
逼近拟合函数虽然误差不为0,但是足够小
2.1.4 拟合方法
2.1.4.1 多项式插值
线性方程组矩阵为Vandermonde矩阵,方程组有唯一解
拉格朗日和牛顿计算公式
问题:系数矩阵稠密,依赖于基函数的选择,矩阵可能病态,导致难于求解(病态通过条件数衡量)

注:相关性的含义是说高次幂函数之间的差别越来越小,这样在拟合时,数据偏一点,就到另一条基函数上去了.

对于等距分布的数据点,范德蒙矩阵的条件数随着数据点数n呈指数级增长
好的基函数一般需要系数交替,互相抵消问题(防止基函数长得太近了)
解决方法L使用正交多项式基础
总结:多项式插值不稳定;Runge现象.

2.1.4.2 多项式逼近
为什么逼近?:数据点含噪声,更紧凑的表达,计算简单/更稳定
最小二乘逼近:

2.1.4.3 函数空间的选择
为什么使用多项式:稠密性与完备性—-表达能力足够

2.1.4.3.1 Bernstein多项式
可以使用Bernstein多项式做逼近
Bernstein多项式性质良好:凸包性,细分性,递归线性方程求解…

2.1.4.3.2 RBF函数插值/逼近
RBF函数
在一维空间中即为Gauss函数
现在的问题是RBF函数需要选择,太瘦了重叠部分太小,拟合程度不高
解决方法:将均值方差一起带进来优化(只要$a_i,b_i$足够多,也能够稠密)
换个方式看:神经网络

2.1.4.3.2 神经网络优化
上面Guass函数拟合换个方式看:
神经网络的问题一般在于神经网络的结构与选择
Gauss函数的特性:拟局部性(不是凸的,只能得到局部值,比较适合神经网络来做).神经网络万能逼近定理
多层神经网络:多重复合的函数(一般来说,深的比宽的要好一些)
用神经网络来拟合函数
Why it works?

2. 曲线拟合

2.1 多元函数与映射

对应于课件3

2.1.1 多元函数

基函数构造:张量积

优点:定义简单;缺点:随着维数增加,基函数个数急剧增加,求解代价大
用神经网络表达
2.1.2 流形与映射
流形是一个从低维到高维的映射;任何一个点,无穷小区域等价于一个圆盘
降维映射(低维映射):降维映射一般有信息丢失,丢失的信息大部分不可逆,无法恢复.但是流形结构是可以恢复的.不可恢复优势也是有用的,比如提取信息,用于自编码器:m–>n–>m.
这也启示我们,调参的时候,隐藏层的维度不能太低,神经网络的本质:一个维度映射到另外一个维度
二维到二维的映射或者三维到三维的映射:plane warp/space warp
2.2 曲线拟合基础
对应于课件3
2.2.1 参数化问题
对应于课件3
观察上面误差度量的公式中,怎么知道数据点对应的参数?:这是个降维问题.求出参数后,然后极小化误差度量
参数化方法:
点的参数化对曲线拟合的影响很大